ANÁLISE COMPLEXA E TRANSCENDENTE EM SISTEMA PROGRESSIMAL INFINITESIMAL DE GRACELI.

ESTABELE QUE TODO SISTEMA PASSA A SER UM SISTEMA DE SEQUÊNCIAS  E EM SÉRIES, OBEDECENDO O SISTEMA PROGRESSIMAL INFINIITESIMAL   DE GRACELI.

VEJAMOS ALGUMAS RELAÇÕES. COM ALGUMAS DERIVADAS E OU INTEGRAIS DE GRACELI.

A análise complexa, também conhecida como a teoria das funções de variável complexa, é o ramo da matemática que investiga as funções de números complexos. Ela é útil em muitas áreas da matemática, incluindo geometria algébrica, teoria dos números, análise combinatória e matemática aplicada; além disso, ela é amplamente utilizada em vários ramos da física, como hidrodinâmica, termodinâmica e, em particular, mecânica quântica. Por consequência, o escopo teórico da análise complexa também possui aplicações nas várias divisões da engenharia, como nas engenharias nuclear, aeroespacial, mecânica e elétrica.

Já que uma função diferenciável de variável complexa é igual à soma de sua série de Taylor — isto é, também é uma função analítica — a análise complexa tem interesse particular nas funções analíticas de variável complexa, denominadas funções holomorfas.

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Funções complexas

A teoria das funções de variável complexa tem como um de seus principais objetivos a extensão do cálculo diferencial e integral para o domínio dos números complexos.^[1] Seja A um conjunto de números complexos. Se ${\displaystyle z}$ denota qualquer um dos números do conjunto A, então ${\displaystyle z}$ é denominado uma variável complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da variável complexa ${\displaystyle z}$ para com uma outra variável complexa ${\displaystyle w}$ para cada valor possível de ${\displaystyle z}$ (elementos do conjunto A), então ${\displaystyle w}$ é uma função da variável complexa z no conjunto A e isto é denotado como ${\displaystyle w=f(z).}$ O conjunto A é usualmente algum domínio, chamado domínio de definição da função ${\displaystyle w.}$

Como todo número complexo pode ser escrito na forma ${\displaystyle z=a+bi,}$ em que ${\displaystyle a=R(z),b=Im(z)}$ indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa ${\displaystyle w=f(z)}$ na forma ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y).}$ Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n},}$ /  d / dx c.x * pk = c *  pk = 

em que z é uma variável complexa, é uma função polinomial em variável complexa.

Limites de funções complexas

Ver artigo principal: Limite de uma função

Seja f (z) uma função complexa definida nas vizinhanças do ponto z₀, sendo possivelmente não definida no próprio ponto z₀. De forma análoga ao caso real, define-se o limite L dessa função quando a variável z tende ao ponto z₀ como sendo o valor da qual ela se aproxima (caso este exista) conforme z fica arbitrariamente próximo de z₀. Em linguagem matemática formal, diz-se que

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)=L}$, /  d / dx c.x * pk = c *  pk = 

se, para cada número ε > 0 existe um outro número δ > 0 com a propriedade de que a desigualdade | f (z) - L | < ε é válida para todos os valores de z tais que | z - z₀ | < δ e z ≠ z₀.^[2] Nessa definição, as barras || representam o módulo de um número complexo, definido como |z| = √x² + y² para z = x + yi, em que x e y são as partes real e complexa de z, respectivamente. Uma notação alternativa também utilizada para denotar um limite é ${\displaystyle f(z)\to L}$ para ${\displaystyle z\to z_{0}}$.^[2]

Algumas propriedades típicas dos limites de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo: 1) o limite da soma é igual a soma dos limites; 2) o limite do produto é igual ao produto dos limites; 3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0); ...

As condições de continuidade para as funções complexas são as mesmas de uma função real.

Derivada de uma função complexa

Ver artigo principal: Derivada

Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite

 ${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})={\frac {df}{dz}}(z_{0}),}$/  d / dx c.x * pk = c *  pk = 

 denominado "derivada" da função ${\displaystyle f}$ em relação a ${\displaystyle z}$ no ponto ${\displaystyle z_{0}.}$ Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser contínua em um ponto para que seja diferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

Condições de Cauchy-Riemann

Ver artigo principal: Equações de Cauchy-Riemann

Suponha que a função f seja derivável em ${\displaystyle z_{0},}$ em que ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}:}$

$${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$$

/  d / dx c.x * pk = c *  pk = 

$${\displaystyle f'(z)=a+ib}$$

 /  d / dx c.x * pk = c *  pk = 

$${\displaystyle \Delta f=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}$$

 /  d / dx c.x * pk = c *  pk = 

$${\displaystyle \Delta u=u(x_{0}+\Delta x,y_{o}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})}$$

 / d / dx c.x * pk = c *  pk = 

 

 derivadas de Graceli.

p = progressão.

k = número qualquer, e ou número complexo.

d / dx c.x * pk = c * pk

 d / dx c.x * pk = c *  pk = 

               c * pk              c -1 [pk]

d / dx  x pk               = cx [pk]      

                                          c * pk                       c -1 [pk]

d / dx  x  pk               = cx [pk]

                   pw

d / dx  c [pk]    =

                             pw

d / dx  c [pk]    =

                     pw

d / dx  e c [pk]    =

                             pw

d / dx  e c [pk]    =

d / dx log c.x * pk = log c * pk

 d / dx log c.x * pk = log c *  pk = 

                  c * pk                 c -1 [pk]

d / dx  x log pk               = cx [ loh pk]      

                                          c * pk                       c -1 [pk]

d / dx  x  pk               = cx [pk]

                        pw

d / dx  c log  [pk]    =

                             pw

d / dx  c [pk]    =

                     pw

d / dx  log    e c [pk]    =

                             pw

d / dx  e c [pk]    =

d / dx [in] pk [x] =

d / dx sen x [pk = cos x pk

d / dx cos  x [pk] =  -sen x [pk

d / dx tan x [pk] = sec x [pk]

d /dx csc x [pk] = - csc x cot x [pk]

d / dx arcsen x [pk] = 1 / 1- x [pk]

d / dx arccos x [pk] = 1 / 1- x [pk]

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d / dx sen h x [pk] = cos h x [pk]

d / dx cos h x [pk] = sen h x [pk]